Este documento presenta un aálisis y soluciones para los problemas D, E, F, G y H del concurso ABC227.
D. Planificación de Proyectos
Se nos proporcionan \(N\) números enteros positivos, \(A_i\). En cada operación, seleccionamos \(K\) de estos números y les restamos \(1\). El objetvio es determinar el número máximo de operaciones que se pueden realizar.
Restricciones: \(1 \le K \le N \le 2 \times 10^5\), \(1 \le A_i \le 10^{12}\).
Análisis de la Solución
El problema pide maximizar el número de operaciones, lo que sugiere una búsqueda binaria sobre la cantidad de operaciones posibles. Si podemos realizar \(X\) operaciones, también podemos realizar cualquier número de operaciones menor que \(X\). Esta propiedad de monotonicidad nos permite aplicar búsqueda binaria para encontrar el valor máximo de \(X\).
Definimos una función de verificación esPosible(num\_operaciones) que determina si es factible realizar num\_operaciones pasos. Para que sea posible, la suma total de decrementos necesarios es num\_operaciones \* K. Cada elemento \(A_i\) solo puede contribuir hasta su propio valor \(A_i\).
Consideremos los elementos \(A_i\) en dos grupos con respecto a num\_operaciones:
- Elementos \(A_i \ge \text{num\_operaciones}\): Estos \(A_i\) pueden contribuir con
num\_operacionesdecrementos cada uno. Seanum\_grandesla cantidad de tales elementos. Estos elementos cubrennum\_grandes \* num\_operacionesdecrementos. - Elementos \(A_i < \text{num\_operaciones}\): Estos \(A_i\) solo pueden contribuir con \(A_i\) decrementos cada uno. La suma de estos valores es
suma\_pequenos.
El total de "espacios" de decremento requeridos en num\_operaciones pasos es K \* num\_operaciones. Los num\_grandes elementos pueden cubrir num\_grandes \* num\_operaciones de estos espacios. Los K \* num\_operaciones - num\_grandes \* num\_operaciones = (K - num\_grandes) \* num\_operaciones espacios restantes deben ser cubiertos por los elementos más pequeños.
Por lo tanto, la condición para que num\_operaciones sea posible es que la suma de los elementos pequeños (suma\_pequenos) sea suficiente para cubrir los espacios restantes: suma\_pequenos >= (K - num\_grandes) \* num\_operaciones.
La complejidad temporal de este enfoque es \(O(N \log (\sum A_i / K))\), ya que la búsqueda binaria opera sobre un rango que puede ser tan grande como \(\sum A_i / K\), y cada llamada a esPosible toma \(O(N)\) tiempo.
Implementación en C++
#include <iostream>
#include <vector>
#include <numeric>
#include <algorithm>
// Alias para facilitar la lectura del código con tipos largos
using long_long = long long;
int main() {
std::ios_base::sync_with_stdio(false);
std::cin.tie(NULL);
int num_elements;
int k_select;
std::cin >> num_elements >> k_select;
std::vector<long_long> values(num_elements);
long_long max_possible_sum = 0;
for (int i = 0; i < num_elements; ++i) {
std::cin >> values[i];
max_possible_sum += values[i];
}
// Función para verificar si un número 'x' de operaciones es posible
auto is_feasible = [&](long_long x_ops) {
if (x_ops < 0) return false;
int count_greater_or_equal = 0;
long_long sum_smaller_than = 0;
for (long_long val : values) {
if (val >= x_ops) {
count_greater_or_equal++;
} else {
sum_smaller_than += val;
}
}
// La lógica de la condición de factibilidad
return sum_smaller_than >= (long_long)(k_select - count_greater_or_equal) * x_ops;
};
long_long low = 0;
long_long high = max_possible_sum / k_select; // El número máximo de operaciones no puede exceder esta cantidad
long_long result = 0;
while (low <= high) {
long_long mid = low + (high - low) / 2;
if (is_feasible(mid)) {
result = mid; // Este 'mid' es posible, intentamos uno mayor
low = mid + 1;
} else {
high = mid - 1; // Este 'mid' no es posible, intentamos uno menor
}
}
std::cout << result << std::endl;
return 0;
}
E. Intercambio de Caracteres
Se nos proporciona una cadena \(S\) compuesta por los caracteres 'K', 'E' e 'Y'. Debemos encontrar la cantidad de cadenas distintas que se pueden formar realizando como máximo \(K\) intercambios de caracteres adyacentes.
Restricciones: \(2 \le |S| \le 30\), \(0 \le K \le 10^9\).
Análisis de la Solución
Dado que la longitud de la cadena \(|S|\) es pequeña, podemos utilizar una técnica de programación dinámica con memoización (búsqueda con memoria). La cantidad de movimientos \(K\) puede ser muy grande, pero el número máximo de intercambios adyacentes necesarios para reordenar una cadena de longitud \(N\) es \(N(N-1)/2\). Por lo tanto, podemos limitar \(K\) a este valor máximo efectivo.
Definimos el estado de nuestra función recursiva como contarCadenas(cadena\_actual, movimientos\_restantes). La idea es simular el proceso de construir una cadena reordenada. En cada paso, elegimos un carácter ('K', 'E', o 'Y') y lo movemos a la primera posición de la cadena\_actual. El costo de esta operación es el índice actual de la primera aparición de ese carácter.
Para optimizar, si un carácter aparece varias veces (por ejemplo, 'K'), siempre movemos la primera aparición de 'K' a la primera posición. Esto se debe a que mover una aparición posterior de 'K' incurriría en un costo igual o mayor de movimientos y produciría una subcadena que ya habría sido explorada al mover la primera 'K' (o una menos óptima). Al mover el primer carácter de un tipo dado, garantizamos que exploramos las transformaciones de manera eficiente.
Casos base:
- Si
movimientos\_restantes < 0, el estado es inválido, retornamos 0. - Si la
cadena\_actualtiene longitud 0 o 1, ya no se pueden realizar más intercambios y solo hay 1 cadena distinta posible, retornamos 1.
Se utiliza un mapa para almacenar los resultados de los subproblemas ya calculados, evitando recálculos.
La complejidad temporal es aproximadamente \(O(3^{|S|/3} \times |S|^2)\), considerando el tamaño del estado y el costo de las operaciones de cadena, pero en la práctica, es más cercana a \(O(3 \times (\text{cantidad de estados distintos}))\). Los estados son (subcadena, k\_efectivo). La cantidad de subcadenas es \(2^{|S|}\) y \(k_efectivo\) es a lo sumo \((|S|^2)/2\).
Implementación en C++
#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>
#include <map>
#include <algorithm>
// Alias para tipos de datos largos
using long_long = long long;
// Mapa para memoización: (cadena_actual, movimientos_restantes) -> número de cadenas distintas
std::map<std::pair<std::string, int>, long_long> dp_cache;
// Caracteres posibles
const std::vector<char> AVAILABLE_CHARS = {'K', 'E', 'Y'};
long_long count_distinct_strings(std::string current_str, int remaining_moves) {
// Si los movimientos restantes son negativos, este camino no es válido.
if (remaining_moves < 0) {
return 0;
}
// Si la cadena tiene 0 o 1 carácter, ya es una configuración final válida.
if (current_str.length() <= 1) {
return 1;
}
// Crear la clave para la memoización
std::pair<std::string, int> current_state = {current_str, remaining_moves};
// Si ya hemos calculado este estado, retornamos el valor almacenado.
if (dp_cache.count(current_state)) {
return dp_cache[current_state];
}
long_long total_distinct = 0;
// Iterar sobre cada tipo de carácter posible ('K', 'E', 'Y')
for (char char_to_move : AVAILABLE_CHARS) {
// Encontrar la primera ocurrencia del carácter en la cadena actual
size_t char_idx = current_str.find(char_to_move);
// Si el carácter no se encuentra, continuar con el siguiente
if (char_idx == std::string::npos) {
continue;
}
// El costo de mover este carácter al frente es su índice actual.
int cost = char_idx;
// Crear la nueva cadena quitando el carácter movido.
std::string next_str = current_str;
next_str.erase(char_idx, 1);
// Llamada recursiva con la nueva cadena y movimientos actualizados.
total_distinct += count_distinct_strings(next_str, remaining_moves - cost);
}
// Almacenar el resultado en el caché antes de retornar.
return dp_cache[current_state] = total_distinct;
}
int main() {
std::ios_base::sync_with_stdio(false);
std::cin.tie(NULL);
std::string initial_string;
int max_swaps;
std::cin >> initial_string >> max_swaps;
// El número máximo de movimientos útiles para una cadena de longitud N es N*(N-1)/2.
// Capamos 'max_swaps' a este valor para reducir el tamaño del estado en la memoización.
int effective_max_swaps = initial_string.length() * (initial_string.length() - 1) / 2;
max_swaps = std::min(max_swaps, effective_max_swaps);
std::cout << count_distinct_strings(initial_string, max_swaps) << std::endl;
return 0;
}
F. Búsqueda del Tesoro
Tenemos una matriz de \(H \times W\). Debemos encontrar un camino desde la celda superior izquierda \((1,1)\) hasta la celda inferior derecha \((H,W)\). El camino solo puede moverse hacia abajo o hacia la derecha. De todos los valores en el camino, sumamos los \(K\) valores más grandes. Queremos encontrar el camino que minimice esta suma.
Restricciones: \(1 \le H, W \le 30\), \(1 \le K < H+W\).
Análisis de la Solución
La clave de este problema radica en que el número de celdas en cualquier camino de \((1,1)\) a \((H,W)\) es fijo: \(H+W-1\). Además, \(K\) es menor que este número. Esto sugiere una técnica común en la cual iteramos sobre un valor umbral \(X\). Para cada valor \(X\), consideramos que los \(K\) valores más grandes de nuestro camino incluirán todos los valores estrictamente mayores que \(X\), algunos (o ninguno) de los valores iguales a \(X\), y ninguno de los valores menores que \(X\).
Podemos iterar a través de todos los posibles valores presentes en la cuadrícula como nuestro umbral \(X\). Para cada \(X\), utilizaremos programación dinámica. Sea dp\[r\]\[c\]\[count\_ge\_X\] la suma mínima para llegar a la celda \((r,c)\) habiendo recolectado exactamente count\_ge\_X valores que son mayores o iguales a \(X\) (y que hemos decidido incluir en nuestra suma de los \(K\) mayores).
Las transiciones de la DP son las siguientes para la celda \((r,c)\) con valor grid\_val = grid\_values\[r\]\[c\]:
-
Si
grid\_val > X: Este valor definitivamente se incluirá en la suma de los \(K\) mayores.dp\[r\]\[c\]\[k\] = min(dp\[r-1\]\[c\]\[k-1\], dp\[r\]\[c-1\]\[k-1\]) + grid\_val. -
Si
grid\_val < X: Este valor definitivamente no se incluirá.dp\[r\]\[c\]\[k\] = min(dp\[r-1\]\[c\]\[k\], dp\[r\]\[c-1\]\[k\]). -
Si
grid\_val == X: Este es el caso ambiguo. Tenemos dos opciones:- No incluir
grid\_valen nuestra suma de los \(K\) mayores:dp\[r\]\[c\]\[k\] = min(dp\[r-1\]\[c\]\[k\], dp\[r\]\[c-1\]\[k\]). - Incluir
grid\_valen nuestra suma de los \(K\) mayores:dp\[r\]\[c\]\[k\] = min(dp\[r\]\[c\]\[k\], min(dp\[r-1\]\[c\]\[k-1\], dp\[r\]\[c-1\]\[k-1\]) + grid\_val).
La primera opción se evalúa primero, luego la segunda para actualizar
dp\[r\]\[c\]\[k\]si resulta en un valor menor. - No incluir
La inicialización dp\[1\]\[1\] debe manejarse de acuerdo con el valor grid\_values\[1\]\[1\] en relación con el umbral \(X\). Todas las demás entradas de dp se inicializan a infinito.
El valor mínimo de dp\[H\]\[W\]\[target\_k\] sobre todos los umbrales \(X\) posibles será la respuesta. La complejidad temporal es \(O(H \times W \times (H+W) \times H \times W)\). Esto es \(O(H^2 W^2 (H+W))\), que para \(H,W=30\) es aproximadamente \(30^4 \times 60 \approx 5 \times 10^7\) operaciones, lo cual es factible.
Implementación en C++
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <climits> // Para LLONG_MAX
const int MAX_DIM = 30;
const long long INF = LLONG_MAX;
int main() {
std::ios_base::sync_with_stdio(false);
std::cin.tie(NULL);
int rows, cols, target_k;
std::cin >> rows >> cols >> target_k;
std::vector<std::vector<int>> grid_values(rows + 1, std::vector<int>(cols + 1));
for (int i = 1; i <= rows; ++i) {
for (int j = 1; j <= cols; ++j) {
std::cin >> grid_values[i][j];
}
}
long long min_total_sum = INF;
// Iterar sobre cada celda (r_pivot, c_pivot) para usar su valor como umbral X.
for (int r_pivot = 1; r_pivot <= rows; ++r_pivot) {
for (int c_pivot = 1; c_pivot <= cols; ++c_pivot) {
int threshold_val = grid_values[r_pivot][c_pivot];
// dp_table[r][c][count_chosen] = min_sum
std::vector<std::vector<std::vector<long long>>> dp_table(
rows + 1, std::vector<std::vector<long long>>(
cols + 1, std::vector<long long>(rows + cols + 1, INF)));
// Inicialización para la celda (1,1)
int val_1_1 = grid_values[1][1];
if (val_1_1 > threshold_val) {
dp_table[1][1][1] = val_1_1;
} else if (val_1_1 < threshold_val) {
dp_table[1][1][0] = 0;
} else { // val_1_1 == threshold_val
dp_table[1][1][0] = 0;
dp_table[1][1][1] = val_1_1;
}
// Llenar la tabla de DP
for (int r = 1; r <= rows; ++r) {
for (int c = 1; c <= cols; ++c) {
if (r == 1 && c == 1) continue; // Ya inicializado
int current_val = grid_values[r][c];
int max_k_for_cell = r + c - 1; // Máximo k posible hasta esta celda
for (int k = 0; k <= max_k_for_cell; ++k) {
long long from_up = INF;
long long from_left = INF;
// Caso 1: current_val se considera 'no elegido' o 'demasiado pequeño'
if (r > 1 && dp_table[r - 1][c][k] != INF) {
from_up = dp_table[r - 1][c][k];
}
if (c > 1 && dp_table[r][c - 1][k] != INF) {
from_left = dp_table[r][c - 1][k];
}
// Si current_val < threshold_val, solo aplica esta opción
if (current_val < threshold_val) {
dp_table[r][c][k] = std::min(from_up, from_left);
} else { // current_val >= threshold_val
// Esta rama considera el valor sin sumarlo (si es >= X, es como si no lo contáramos como uno de los K)
// o si es menor que X, es la única opción.
dp_table[r][c][k] = std::min(dp_table[r][c][k], std::min(from_up, from_left));
// Caso 2: current_val se considera 'elegido' (solo si k > 0 y current_val >= threshold_val)
if (k > 0) {
long long from_up_prev_k = INF;
long long from_left_prev_k = INF;
if (r > 1 && dp_table[r - 1][c][k - 1] != INF) {
from_up_prev_k = dp_table[r - 1][c][k - 1] + current_val;
}
if (c > 1 && dp_table[r][c - 1][k - 1] != INF) {
from_left_prev_k = dp_table[r][c - 1][k - 1] + current_val;
}
dp_table[r][c][k] = std::min(dp_table[r][c][k], std::min(from_up_prev_k, from_left_prev_k));
}
}
}
}
}
min_total_sum = std::min(min_total_sum, dp_table[rows][cols][target_k]);
}
}
std::cout << min_total_sum << std::endl;
return 0;
}
G. Divisores del Coeficiente Binomial
Se nos pide encontrar el número de divisores del coeficiente binomial \(\binom{N}{K}\), módulo \(998244353\).
Restricciones: \(1 \le N \le 10^{12}\), \(0 \le K \le \min(10^6, N)\).
Análisis de la Solución
El número de divisores de un número entero \(M\) con factorización prima \(M = p_1^{e_1} \cdot p_2^{e_2} \cdot \ldots \cdot p_m^{e_m}\) es \((e_1+1)(e_2+1)\ldots(e_m+1)\). Nuestro objetivo es calcular los exponentes \(e_p\) para cada primo \(p\) en la factorización de \(\binom{N}{K}\).
Sabemos que \(\binom{N}{K} = \frac{N!}{K!(N-K)!}\). El exponente de un primo \(p\) en \(n!\) se puede calcular usando la Fórmula de Legendre: \(E_p(n!) = \sum_{i=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{p^i} \rfloor\).
Por lo tanto, el exponente de un primo \(p\) en \(\binom{N}{K}\) es \(E_p(\binom{N}{K}) = E_p(N!) - E_p(K!) - E_p((N-K)!)\).
Dada la restricción \(K \le 10^6\), podemos precalcular todos los números primos hasta \(K\) (o un límite ligeramente mayor, como \(10^6\)) utilizando una criba de Eratóstenes. Para cada primo \(p\) en este rango:
- Calculamos \(E_p(N!), E_p(K!), E_p((N-K)!)\) utilizando la Fórmula de Legendre.
- Obtenemos \(e_p = E_p(N!) - E_p(K!) - E_p((N-K)!)\).
- Multiplicamos
(e\_p + 1)al resultado final, módulo \(998244353\).
Para primos \(p > K\), la situación es diferente. Si un primo \(p > K\) divide a \(\binom{N}{K}\), entonces \(p\) no puede dividir ningún término en \(K!\) (ya que todos los factores son \(\le K\)). Por lo tanto, \(p\) debe provenir del numerador \(N! / (N-K)! = N \cdot (N-1) \cdot \ldots \cdot (N-K+1)\). Además, si \(p > K\), entonces \(p\) solo puede dividir a lo sumo un término en la secuencia \(N, N-1, \ldots, N-K+1\), y solo con un exponente de 1 (ya que el rango de la secuencia es \(K\), y \(p > K\)). Esto significa que para cualquier primo \(p > K\), si divide a \(\binom{N}{K}\), su exponente \(e_p\) será 1, y contribuirá con \((1+1)=2\) al producto final.
Para implementar esto, representamos \(\binom{N}{K}\) como \(\frac{\prod_{i=0}^{K-1} (N-i)}{\prod_{i=1}^K i}\). Creamos dos arreglos, numerador\_terminos y denominador\_terminos, para almacenar los términos del numerador y denominador. Luego, para cada primo \(p \le K_{max}\) (donde \(K_{max} = 10^6\)):
- Iteramos por los múltiplos de \(p\) en
denominador\_terminosy dividimos por \(p\) para eliminar sus factores, manteniendo un conteo del exponente de \(p\). - Iteramos por los múltiplos de \(p\) en
numerador\_terminosy dividimos por \(p\) para eliminar sus factores, ajustando el conteo del exponente de \(p\). - El
conteo\_pfinal es \(e_p\). Multiplicamos(e\_p+1)al resultado.
Después de procesar todos los primos \(\le K_{max}\), cualquier valor restante en numerador\_terminos que sea \(>1\) debe ser un primo (o un producto de primos) mayor que \(K_{max}\). Debido a la propiedad de los primos grandes discutida anteriormente, si un término numerador\_terminos\[j\] restante es X > 1, y \(X\) es primo, contribuye con 2. Si \(X\) es un producto de dos primos grandes (ej., \(P_1 P_2\)), cada \(P_i\) es un factor con exponente 1, por lo que contribuye \(2 \times 2\). La implementación proporcionada asume que cualquier término restante en numerador\_terminos que sea \(>1\) es un factor primo único (y por lo tanto contribuye \(2\)). Esto es correcto porque si fuera un producto de dos primos \(P_1 P_2\), al menos uno de ellos \(\le \sqrt{N}\), que es \(\approx 10^6\), y ya habría sido factorizado. Así, cualquier remanente \(>1\) es un primo. Este paso final se realiza multiplicando el resultado por 2 por cada término numerador\_terminos\[j\] > 1.
La complejidad temporal es aproximadamente \(O(K_{max} \log \log K_{max} + K \log N)\).
Implementación en C++
#include <iostream>
#include <vector>
#include <numeric>
#include <cstring> // Para memset
// Alias para tipos de datos largos
using long_long = long long;
const int MAX_K_PRIME_SIEVE = 1000000; // Limite para la criba de primos
const long_long MOD = 998244353;
// Array para la criba de Eratóstenes
bool is_prime[MAX_K_PRIME_SIEVE + 1];
int main() {
std::ios_base::sync_with_stdio(false);
std::cin.tie(NULL);
long_long num_n;
int num_k;
std::cin >> num_n >> num_k;
// Inicializar criba de Eratóstenes
std::memset(is_prime, 1, sizeof(is_prime));
is_prime[0] = is_prime[1] = false;
for (int i = 2; i * i <= MAX_K_PRIME_SIEVE; ++i) {
if (is_prime[i]) {
for (int j = i * i; j <= MAX_K_PRIME_SIEVE; j += i) {
is_prime[j] = false;
}
}
}
// Almacenar términos del denominador (1, 2, ..., K)
std::vector<long_long> denominator_terms(num_k + 1);
std::iota(denominator_terms.begin(), denominator_terms.end(), 0); // Llenar con 0, 1, ..., K
// Almacenar términos del numerador (N-K+1, N-K+2, ..., N)
std::vector<long_long> numerator_terms(num_k);
long_long start_num = num_n - num_k + 1;
for (int i = 0; i < num_k; ++i) {
numerator_terms[i] = start_num + i;
}
long_long result_ways = 1;
// Procesar primos hasta MAX_K_PRIME_SIEVE
for (int p = 2; p <= MAX_K_PRIME_SIEVE; ++p) {
if (is_prime[p]) {
int current_prime_exponent = 0;
// Eliminar factores p del denominador
for (long_long i = p; i <= num_k; i += p) {
while (denominator_terms[i] > 0 && denominator_terms[i] % p == 0) {
denominator_terms[i] /= p;
current_prime_exponent--;
}
}
// Eliminar factores p del numerador
// Los términos del numerador son N-K+1, ..., N.
// Encontrar el primer múltiplo de p en el rango [N-K+1, N]
long_long first_multiple_in_range = (start_num + p - 1) / p * p;
for (long_long i = first_multiple_in_range; i <= num_n; i += p) {
if (i - start_num >= 0 && i - start_num < num_k) { // Asegurarse de que el índice es válido
while (numerator_terms[i - start_num] > 0 && numerator_terms[i - start_num] % p == 0) {
numerator_terms[i - start_num] /= p;
current_prime_exponent++;
}
}
}
result_ways = (result_ways * (current_prime_exponent + 1)) % MOD;
}
}
// Para los términos restantes en el numerador que son > 1, son factores primos grandes ( > MAX_K_PRIME_SIEVE)
// Cada uno de ellos contribuye 2 (exponente 1 + 1)
for (int i = 0; i < num_k; ++i) {
if (numerator_terms[i] > 1) {
result_ways = (result_ways * 2) % MOD;
}
}
std::cout << result_ways << std::endl;
return 0;
}
H. Cómete Todo
Snuke está en una cuadrícula de \(3 \times 3\) en la posición \((1,1)\). Cada celda \((i,j)\) contiene \(A_{i,j}\) elementos. Snuke realiza una serie de operaciones:
- Decrementa en \(1\) la cantidad de elementos en su posición actual \(A_{i,j}\).
- Se mueve a una celda adyacente (horizontal o vertical).
El objetivo es construir una secuencia de movimientos tal que, al final, todos los \(A_{i,j}\) de la cuadrícula sean cero. Debemos imprimir la secuencia de movimientos.
Restricciones: \(1 \le A_{i,j} \le 100\).
Análisis de la Solución
Este problema se puede modelar como la búsqueda de un camino Euleriano en un multigrafo. Consideramos cada celda \((i,j)\) como un nodo en el grafo. Para cada celda \((i,j)\) con \(A_{i,j}\) elementos, Snuke debe visitar esta celda \(A_{i,j}\) veces para consumir todos los elementos. Cada visita implica un decremento y luego un movimiento. Si consideramos el total de "entradas" y "salidas" de cada nodo, cada movimiento de \((u,v)\) cuenta como una salida de \(u\) y una entrada a \(v\).
Si denotamos por edge\_counts\[u\]\[v\] la cantidad de veces que Snuke se mueve entre la celda \(u\) y la celda \(v\), entonces para que todos los elementos en la celda \(u\) sean consumidos, la suma de los edge\_counts\[u\]\[v\] para todos los vecinos \(v\) de \(u\) debe ser igual a 2 \* A\[u\]. Esta es la condición estándar para que exista un camino o ciclo Euleriano en un multigrafo, donde cada A\[u\] representa la 'mitad' del grado total requerido para el nodo \(u\).
Tenemos 9 celdas y 12 posibles aristas (horizontales y verticales). Esto nos da un sistema de 9 ecuaciones lineales (una por cada celda) con 12 variables (una por cada arista). Este sistema tiene 4 variables libres, lo que significa que podemos asignar valores arbitrarios a 4 variables de arista y luego resolver las demás.
Los nodos se pueden numerar del 1 al 9:
1 2 3
4 5 6
7 8 9
Las variables de arista (edge\_counts\[k\]) se definen de la siguiente manera:
x\[1\]: 1-2x\[2\]: 2-3x\[3\]: 4-5x\[4\]: 5-6x\[5\]: 7-8x\[6\]: 8-9x\[7\]: 1-4x\[8\]: 2-5x\[9\]: 3-6x\[10\]: 4-7x\[11\]: 5-8x\[12\]: 6-9
Las ecuaciones para los grados de los nodos son:
- Node 1:
x\[1\] + x\[7\] = 2 \* A\[1\]\[1\] - Node 2:
x\[1\] + x\[2\] + x\[8\] = 2 \* A\[1\]\[2\] - ... y así sucesivamente para los 9 nodos.
Podemos iterar sobre los posibles valores de 4 variables libres (por ejemplo, x\[1\], x\[2\], x\[5\], x\[6\]). Dado que \(A_{i,j} \le 100\), cada 2 \* A\[i\]\[j\] es como máximo 200. Así, cada x\[k\] puede ir de 0 a 200. Esto nos da un espacio de búsqueda de \(200^4 \approx 1.6 \times 10^9\) combinaciones. Para cada combinación:
- Calculamos los valores de las 8 variables de arista restantes.
- Verificamos que todos los
edge\_counts\[k\]sean no negativos. - Verificamos que la ecuación restante para el nodo central (2,2) se cumpla.
- Construimos un multigrafo donde cada arista \((u,v)\) aparece
edge\_counts\[u\]\[v\]veces. - Verificamos la conectividad del grafo utilizando un Disjoint Set Union (DSU). Si el grafo no es conexo (sin contar nodos aislados sin aristas), no puede haber un camino Euleriano.
- Si todas las condiciones se cumplen, el grafo tiene un camino Euleriano. Dado que todos los grados son pares (por la construcción
2\*A\[i\]\[j\]), es un ciclo Euleriano. Podemos usar el algoritmo de Hierholzer para construirlo, comenzando desde \((1,1)\). - Imprimimos la secuencia de movimientos (U, D, L, R) de la ruta encontrada.
La complejidad temporal es \(O( (\text{MaxA})^4 \times (N_{edges} + N_{nodes}) )\) para la construcción del grafo y la búsqueda del camino Euleriano.
Implementación en C++
#include <iostream>
#include <vector>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <map> // Para std::map en lugar de pii
// Alias para facilitar la lectura
using NodePair = std::pair<int, int>;
// Representación de aristas: {vecino, id_arista}
using Edge = std::pair<int, int>;
// Variables para los recuentos de aristas (x_i en el análisis)
int edge_counts[13];
// Grid de elementos A[i][j]
int grid_items[4][4];
// Para marcar aristas visitadas en Hierholzer
bool edge_visited[200 * 12 + 10]; // Max 200 por arista * 12 aristas
// Convierte un par de nodos a una dirección de movimiento
char get_direction_char(int node_from, int node_to) {
int r_from = (node_from - 1) / 3 + 1;
int c_from = (node_from - 1) % 3 + 1;
int r_to = (node_to - 1) / 3 + 1;
int c_to = (node_to - 1) % 3 + 1;
if (r_from == r_to) { // Movimiento horizontal
if (c_to == c_from + 1) return 'R';
if (c_to == c_from - 1) return 'L';
} else if (c_from == c_to) { // Movimiento vertical
if (r_to == r_from + 1) return 'D';
if (r_to == r_from - 1) return 'U';
}
return '*'; // Error o no adyacente
}
// Estructura Disjoint Set Union (DSU)
struct DSU {
std::vector<int> parent;
void init() {
parent.resize(10);
std::iota(parent.begin(), parent.end(), 0);
}
int find(int i) {
if (parent[i] == i) return i;
return parent[i] = find(parent[i]);
}
void unite(int i, int j) {
int root_i = find(i);
int root_j = find(j);
if (root_i != root_j) {
parent[root_i] = root_j;
}
}
};
// Lista de adyacencia para el multigrafo
std::vector<Edge> adj_list[10];
// Índices de inicio para Hierholzer (para evitar re-procesar aristas)
std::vector<int> dfs_start_idx;
// Ruta Euleriana resultante
std::vector<int> euler_path_nodes;
// Contador de IDs de aristas para el multigrafo
int edge_id_counter = 0;
// Función DFS para el algoritmo de Hierholzer
void find_euler_path(int current_node) {
while (dfs_start_idx[current_node] < adj_list[current_node].size()) {
Edge& next_edge = adj_list[current_node][dfs_start_idx[current_node]];
int neighbor = next_edge.first;
int edge_unique_id = next_edge.second;
dfs_start_idx[current_node]++; // Mover al siguiente índice antes de la recursión
if (!edge_visited[edge_unique_id]) {
edge_visited[edge_unique_id] = true;
find_euler_path(neighbor);
}
}
euler_path_nodes.push_back(current_node);
}
int main() {
std::ios_base::sync_with_stdio(false);
std::cin.tie(NULL);
for (int i = 1; i <= 3; ++i) {
for (int j = 1; j <= 3; ++j) {
std::cin >> grid_items[i][j];
}
}
// El rango para las variables x_i es [0, 2 * max(A_ij)]. Aquí max A_ij = 100.
// Así, el rango es [0, 200].
for (edge_counts[1] = 0; edge_counts[1] <= 200; ++edge_counts[1]) {
edge_counts[7] = 2 * grid_items[1][1] - edge_counts[1];
if (edge_counts[7] < 0) continue;
for (edge_counts[2] = 0; edge_counts[2] <= 200; ++edge_counts[2]) {
edge_counts[8] = 2 * grid_items[1][2] - edge_counts[1] - edge_counts[2];
if (edge_counts[8] < 0) continue;
edge_counts[9] = 2 * grid_items[1][3] - edge_counts[2];
if (edge_counts[9] < 0) continue;
for (edge_counts[5] = 0; edge_counts[5] <= 200; ++edge_counts[5]) {
edge_counts[10] = 2 * grid_items[3][1] - edge_counts[5];
if (edge_counts[10] < 0) continue;
edge_counts[3] = 2 * grid_items[2][1] - edge_counts[7] - edge_counts[10];
if (edge_counts[3] < 0) continue;
for (edge_counts[6] = 0; edge_counts[6] <= 200; ++edge_counts[6]) {
edge_counts[11] = 2 * grid_items[3][2] - edge_counts[5] - edge_counts[6];
if (edge_counts[11] < 0) continue;
edge_counts[12] = 2 * grid_items[3][3] - edge_counts[6];
if (edge_counts[12] < 0) continue;
edge_counts[4] = 2 * grid_items[2][3] - edge_counts[9] - edge_counts[12];
if (edge_counts[4] < 0) continue;
// Verificar la consistencia de la ecuación para el nodo (2,2)
if (edge_counts[3] + edge_counts[4] + edge_counts[11] + edge_counts[8] != 2 * grid_items[2][2]) {
continue;
}
// --- Verificar Conectividad ---
DSU dsu_checker;
dsu_checker.init();
bool has_edges = false; // Bandera para verificar si hay al menos una arista
if (edge_counts[1] > 0) { dsu_checker.unite(1, 2); has_edges = true; }
if (edge_counts[2] > 0) { dsu_checker.unite(2, 3); has_edges = true; }
if (edge_counts[3] > 0) { dsu_checker.unite(4, 5); has_edges = true; }
if (edge_counts[4] > 0) { dsu_checker.unite(5, 6); has_edges = true; }
if (edge_counts[5] > 0) { dsu_checker.unite(7, 8); has_edges = true; }
if (edge_counts[6] > 0) { dsu_checker.unite(8, 9); has_edges = true; }
if (edge_counts[7] > 0) { dsu_checker.unite(1, 4); has_edges = true; }
if (edge_counts[8] > 0) { dsu_checker.unite(2, 5); has_edges = true; }
if (edge_counts[9] > 0) { dsu_checker.unite(3, 6); has_edges = true; }
if (edge_counts[10] > 0) { dsu_checker.unite(4, 7); has_edges = true; }
if (edge_counts[11] > 0) { dsu_checker.unite(5, 8); has_edges = true; }
if (edge_counts[12] > 0) { dsu_checker.unite(6, 9); has_edges = true; }
if (has_edges) { // Si hay aristas, verificar que todos los nodos con aristas estén conectados
int first_root = -1;
bool connected = true;
for (int i = 1; i <= 9; ++i) {
// Check if node i has at least one incident edge (sum of edge_counts around it)
bool node_has_incident_edge = false;
switch (i) {
case 1: if(edge_counts[1] || edge_counts[7]) node_has_incident_edge = true; break;
case 2: if(edge_counts[1] || edge_counts[2] || edge_counts[8]) node_has_incident_edge = true; break;
case 3: if(edge_counts[2] || edge_counts[9]) node_has_incident_edge = true; break;
case 4: if(edge_counts[3] || edge_counts[7] || edge_counts[10]) node_has_incident_edge = true; break;
case 5: if(edge_counts[3] || edge_counts[4] || edge_counts[8] || edge_counts[11]) node_has_incident_edge = true; break;
case 6: if(edge_counts[4] || edge_counts[9] || edge_counts[12]) node_has_incident_edge = true; break;
case 7: if(edge_counts[5] || edge_counts[10]) node_has_incident_edge = true; break;
case 8: if(edge_counts[5] || edge_counts[6] || edge_counts[11]) node_has_incident_edge = true; break;
case 9: if(edge_counts[6] || edge_counts[12]) node_has_incident_edge = true; break;
}
if (node_has_incident_edge) {
if (first_root == -1) {
first_root = dsu_checker.find(i);
} else if (dsu_checker.find(i) != first_root) {
connected = false;
break;
}
}
}
if (!connected) continue;
}
// --- Construir multigrafo y encontrar ruta Euleriana ---
for (int i = 1; i <= 9; ++i) adj_list[i].clear();
edge_id_counter = 0;
std::fill(edge_visited, edge_visited + sizeof(edge_visited), false);
euler_path_nodes.clear();
dfs_start_idx.assign(10, 0); // Resetear índices de inicio para DFS
// Función auxiliar para añadir aristas al multigrafo
auto add_edges_to_graph = [&](int u, int v, int count) {
for (int k = 0; k < count; ++k) {
adj_list[u].push_back({v, edge_id_counter});
adj_list[v].push_back({u, edge_id_counter}); // undirected edge
edge_id_counter++;
}
};
add_edges_to_graph(1, 2, edge_counts[1]);
add_edges_to_graph(2, 3, edge_counts[2]);
add_edges_to_graph(4, 5, edge_counts[3]);
add_edges_to_graph(5, 6, edge_counts[4]);
add_edges_to_graph(7, 8, edge_counts[5]);
add_edges_to_graph(8, 9, edge_counts[6]);
add_edges_to_graph(1, 4, edge_counts[7]);
add_edges_to_graph(2, 5, edge_counts[8]);
add_edges_to_graph(3, 6, edge_counts[9]);
add_edges_to_graph(4, 7, edge_counts[10]);
add_edges_to_graph(5, 8, edge_counts[11]);
add_edges_to_graph(6, 9, edge_counts[12]);
find_euler_path(1);
std::reverse(euler_path_nodes.begin(), euler_path_nodes.end());
// Si la ruta Euleriana no contiene suficientes pasos, algo salió mal
// La cantidad de aristas en el grafo debería ser (path_length - 1)
int total_edges_sum = 0;
for(int i=1; i<=12; ++i) total_edges_sum += edge_counts[i];
if (euler_path_nodes.size() != total_edges_sum + 1 && total_edges_sum > 0) {
// This might happen if a node is disconnected but has degree 0.
// Or Hierholzer couldn't find a path covering all edges.
// For a connected graph with all even degrees, Hierholzer guarantees a path.
// The DSU check should have covered it. This implies a bug in Hierholzer or DSU.
// Re-check: if total_edges_sum is 0, path_nodes.size() should be 1.
// If total_edges_sum > 0, then path_nodes.size() should be total_edges_sum + 1.
// The current Hierholzer implementation is standard and robust.
// The DSU check is more rigorous here.
continue;
}
if (total_edges_sum == 0 && (euler_path_nodes.empty() || euler_path_nodes[0] != 1)) {
// if no moves at all, just start at 1 and finish
if (grid_items[1][1]==0 && grid_items[1][2]==0 && grid_items[1][3]==0 &&
grid_items[2][1]==0 && grid_items[2][2]==0 && grid_items[2][3]==0 &&
grid_items[3][1]==0 && grid_items[3][2]==0 && grid_items[3][3]==0 )
{
std::cout << "" << std::endl; // Empty path for all zeros initially
return 0;
}
continue; // If no moves, but not all zeros, this path is invalid.
}
std::string result_path = "";
for (size_t i = 1; i < euler_path_nodes.size(); ++i) {
result_path += get_direction_char(euler_path_nodes[i - 1], euler_path_nodes[i]);
}
std::cout << result_path << std::endl;
return 0; // Se encontró una solución, terminamos.
}
}
}
}
std::cout << "NO" << std::endl; // No se encontró ninguna solución.
return 0;
}