El cálculo de la gravedad superficial y las anomalías gravitacionales en modelos geológicos bidimenisonales comprende dos etapas fundamentales: el cálculo directo y la inversión del modelo.

Cálculo Directo: Determinación de Anomalías a partir del Modelo

Ecuación Central para Cuerpos de Sección Poligonal Bidimensionales:

La expresión matemática fundamental para el cálculo de la anomalía gravitacional causeda por un cuerpo poligonal con densidad constante se basa en la integración a lo largo de los lados del polígono. La fórmula general implica el producto de la constante gravitacional, la diferencia de densidad y la evaluación de funciones trigonométricas inversas en los vértices del polígono.

Donde:

• \(G=6.674×10^{−11}m^3/kg/s^2\) representa la constante gravitacional universal
• Δρ indica la contraste de densidad entre el cuerpo geológico y el medio circundante (expresado en kg/m³)
• Las coordenadas (\(x_i,z_i\)) corresponden a los vértices del polígono ordenados en sentido antihorario

Implementación en MATLAB:

function gravedad = calcular_polo_gravitacional(x_observador, z_observador, x_vertices, z_vertices, densidad)
    G = 6.67408e-11;
    n_lados = length(x_vertices);
    x_vertices(end+1) = x_vertices(1); 
    z_vertices(end+1) = z_vertices(1);
    gravedad = zeros(size(x_observador));
    
    for i = 1:length(x_observador)
        acumulador = 0;
        for j = 1:n_lados
            coef_x = x_vertices(j)*(1-t) + x_vertices(j+1)*t - x_observador(i);
            coef_z = z_vertices(j)*(1-t) + z_vertices(j+1)*t - z_observador;
            acumulador = acumulador - 2 * densidad * G * (atan(coef_x./coef_z)) .* (z_vertices(j+1)-z_vertices(j));
        end
        gravedad(i) = 1e5 * sum(acumulador);
    end
end

Ejemplo de Uso:

x_observador = -500:10:500;
z_observador = 0;
x_vertices = [-200,-100,0,100,200];
z_vertices = [0,200,200,0,0];
densidad = 500;
anomalia_gravitacional = calcular_polo_gravitacional(x_observador, z_observador, x_vertices, z_vertices, densidad);
plot(x_observador, anomalia_gravitacional);

Cálculo Inverso: Reconstrucción del Modelo a partir de las Anomalías

Metodología de Optimización por Enjambre de Partículas (PSO):

El proceso de inversión mediante algoritmos metaheurísticos sigue una secuencia estructurada que permite estimar los parámetros del modelo geológico a partir de las anomalías gravitacionales observadas en superficie.

1. Codificación de Parámetros: Cada partícula representa las coordenadas de los vértices que definen la geometría del cuerpo geológico (\(x_{inferior},z_{inferior},x_{superior},z_{superior}\))
2. Evaluación Directa: Se calcula la anomalía gravitacional teórica para la configuración actual mediante la función de cálculo directo
3. Función Objetivo: Se minimiza la suma de los residuos al cuadrado adicionando un término de suavizado

\(FunciónCosto=∑(gravidad_{observada}−gravidad_{modelo})^2+λ⋅penalización_{suavizado}\)

4. Actualización Iterativa: Los vectores de velocidad y posición de las partículas se actualizan hasta alcanzar la convergencia definida

Fragmento de Código MATLAB:

configuracion = optimoptions('particleswarm', 'TamanoEnjambre', 40, 'IteracionesMax', 300);
funcion_objetivo = @(parametros) norm(gravedad_observada - calcular_polo_gravitacional(x_observador, z_observador, parametros(1:2), parametros(3:4), densidad));
[parametros_optimos, ~] = particleswarm(funcion_objetivo, 4, limite_inferior, limite_superior, configuracion);

Aspectos Técnicos Fundamentales

1. Discretización del Modelo: Los cuerpos geológicos complejos requieren subdivisión en elementos triangulares o poligonales para una representación precisa
2. Estabilidad Numérica: La integración mediante cuadratura de Gauss-Legendre evita singularidades numéricas en puntos críticos
3. Tratamiento de la No Unicidad: La incorporación de términos de regularización λ∥∥∇ρ∥² suaviza las soluciones e identifica el modelo físicamente más plausible

Recursos y Herramientas Recomendadas

1. Sfotware Especializado:

• IGMAS para plataformas Linux, especializado en modelado poligonal
• Herramientas deTriangulación Delaunay de MATLAB para mallado geológico

2. Bibliotecas de Cálculo: Implementaciones optimizadas de algoritmos de inversión gravitacional disponibles en repositorios académicos especializados